Etude sur la preuve originelle de l'identité combinatoire dite de Li Shanlan (1811-1882)

Ce que dissimule son traité des Catégories analogues d'accumulations discrètes de 1867

Dans ses Catégories analogues d'accumulations discrètes (Duoji bilei 垛積比類) publiées en 1867, le mathématicien Li Shanlan 李善蘭 (1811-1882) énonce près de 170 formules sommatoires dérivées du triangle de Pascal, déjà connu en Chine depuis la dynastie des Song (10 - 13e siècles). L'une d'entre elles, dite "identité de Li Shanlan", reste remarquable aujourd'hui encore : elle évalue d'une manière récursive très élégante les coefficinets binomiaux au carré du triangle arithmétique, ou "pile triangulaire multipliée par elle-même" (sanjiao zi cheng duo 三角自乘垛).

L'"identité de Li Shanlan" a bien sûr été redémontrée dans la littérature moderne, mais l'historiographie passe sous silence le raisonnement originel de l'auteur. En effet, Li Shanlan présente ses résultats avec les conventions anciennes et les équations de l'"art de l'inconnue céleste" (tian yuan shu 天元術) des Song. Mais il ne fournit aucune démonstration à l'instar des traités traditionnels, alors qu'il maîtrisait parfaitement les mathématiques modernes comme l'atteste sa traduction préalable de nombreux ouvrage occidentaux dans les années 1850.

Cette étude suggère que la structure globale du traité s'organise en fait autour d'une démonstration pas à pas de ladite identité. Les Catégories analogues d'accumulations discrètes constituent donc un rare exemple d'ouvrage hybride issu du processus de modernisation des mathématiques dans la Chine impériale du 19e siècle.

Félix Debierre, ancien élève de l'Ecole polytechnique et ingénieur des ponts-et-chaussées, a mené une carrière à l'international dans la finance et l'industrie, notamment au Japon et en Chine. Diplômé de l'Inalco, l'auteur traduit en analyse ajourd'hui les traités mathématiques de Zhu Shijie (fl. 1280-1303) et ceux de sa postérité, dont se réclame Li Shanlan